Programme de la journée « cartes aléatoires » du 24 octobre à l'IHES. 

notez l'inversion des deux derniers exposés par rapport à l'annonce

10h30 café d'accueil

11h Gilles Schaeffer (CNRS, X) 

Combinatoire des nombres de Hurwitz doubles

Une des définitions possibles des nombres de Hurwitz est qu'ils comptent certaines cartes étiquetées. De même que les cartes planaires sont en bijection avec des arbres plans (ou ordonnés), ces cartes étiquetées sont en bijection avec des arbres étiquetés de type Cayley. Le but de l'exposé sera de montrer comment l'étude de ces arbres permet de d'obtenir de nouvelles formules pour les nombres de Hurwitz doubles ainsi que des propriétés de polynomialité. 

12h  Repas

13h30  Shen Lin (ENS Ulm)

Mesure harmonique sur un grand arbre de Galton-Watson critique près d'un point typique

Considérons une marche aléatoire simple sur un arbre de Galton-Watson critique conditionné à avoir une hauteur supérieure à $n$. La loi du point d'atteinte de la hauteur $n$ par la marche aléatoire s'appelle la mesure harmonique au niveau $n$. Il est bien connu que le cardinal de l'ensemble des sommets de l'arbre au niveau $n$ est de l'ordre de $n$. En 2013 Curien et Le Gall ont prouvé qu'il existe une constante $\beta=0.78...$ telle que la mesure harmonique est portée, à un ensemble de masse arbitrairement petite près, par un ensemble de cardinal de l'ordre de $n^\beta$. Dans cet exposé, nous présentons l'existence d'une nouvelle constante universelle $\lambda=1.21...$ telle que, avec grande probabilité, la mesure harmonique portée par un sommet typique à la hauteur $n$ est de l'ordre $n^{-\lambda}$.

14h30  Gaëtan Borot (Max Planck, Bonn)

Nesting statistics in the O(n) loop model

We investigate how deeply nested are the loops in the O(n) model on random maps. In particular, we find that the number P of loops separating two points in a planar map in the dense phase with V >> 1 vertices is typically of order c(n) \ln V for a universal constant c(n), and we compute the large deviations of P. The formula we obtain shows similarity to the CLE_{\kappa} nesting properties for n = 2\cos\pi(1 - 4/\kappa). The results can be extended to all topologies using the topological recursion.

This is based on a joint ongoing work with J. Bouttier

16h00  Linxiao Chen (Orsay) 

Limite locale des cartes cFK via la bijection Hamburger-Cheesburger

Une carte cFK de taille $n$ est une carte aléatoire tirée parmi toutes les cartes planaires enracinées à $n$ arêtes avec une probabilité proportionnelle à la fonction de partition de la FK-percolation critique (auto-dual) sur la carte. C'est une famille de cartes aléatoire dépendant d'un paramètre $q>0$, dont le cas $q=1$ correspond à la carte planaire uniforme. En 2013 Sheffield a trouvé une bijection, dite de Hamburger-Cheeseburger, entre une carte cFK et un modèle de mot aléatoire. Dans cet exposé, nous donnons une nouvelle présentation de cette bijection. Nous construisons ensuite la limite locale de la carte cFK pour tout $q$, et étudions quelques propriétés de la limite. 

Travail de mémoire de master dirigé par Jérémie Bouttier et Nicolas Curien.