Programme

Mardi 6 Décembre 2016 : 10H00-18H00

* 10H00 : Accueil en Salle de Conférences de l'Institut Élie Cartan

* 10H40 : Thomas Budzinski : Flips sur les triangulations de la sphère : une borne inférieure pour le temps de mélange.

Une des manières les plus naturelles de simuler une triangulation uniforme de la sphère à n faces est d'utiliser une méthode de Monte-Carlo : on démarre avec une triangulation quelconque puis, de manière répétée, on choisit une arête uniformément et on la "flippe", i.e. on l'efface et on la remplace par l'autre diagonale du quadrilatère qui se forme. On montrera que le temps de mélange de la chaîne de Markov obtenue est au moins en n5/4.

* 11H30 : Pause

* 11H50 : Laurent Ménard : Triangulation infinie uniforme du plan : strates, séries génératrices et volumes.

Le but de l'exposé est de présenter la triangulation infinie uniforme du plan (UIPT) à travers sa décomposition en strates introduite par Krikun. Les strates sont les parties de la carte situées entre deux hulls consécutifs (boules complétées) centrés en la racine. Cette décomposition est particulièrement adaptée pour faire toutes sortes de calculs basés sur les séries génératrices. On reverra donc un peu celles ci et on verra comment calculer une formule exacte pour la transformée de Laplace du volume des hulls de l'UIPT.

* 12H40 : Collation en salle Wolfgang Doeblin

* 14H20 : Nicolas Curien : Percolation de premier passage sur les triangulations aléatoires.

Considérons une grande triangulation aléatoire uniforme à n sommets. On sait d'après les travaux de J.F. Le Gall qu'elle ressemble, après renormalisation de sa distance de graphe par n{1/4}, à une carte brownienne. Mais que se passe-t-il si l'on troque la distance de graphe pour la distance de graphe sur le dual, ou par une distance liée à la percolation de premier passage ou bien plus généralement à une modification locale de la distance de graphe ? Réponse dans l'exposé !
Travail en commun avec Jean-François Le Gall.

* 15H10 : Pause

* 15H40 : Irène Marcovici : Percolation paire en dimension 2.

Dans le modèle classique de percolation par arête sur Z2, on fixe un paramètre p entre 0 et 1, et pour chaque arête, on décide de la garder avec probabilité p et de l'effacer avec probabilité 1-p, de manière indépendante pour différentes arêtes. On s'intéresse alors à l'existence d'une composante connexe infinie dans le sous-graphe aléatoire obtenu. Ici, nous voulons conditionner cette percolation à être paire, c'est-à-dire à ce que dans le sous-graphe obtenu, chaque sommet soit de degré pair. Nous montrons tout d'abord, en utilisant le formalisme des mesures de Gibbs, l'existence et l'unicité de la mesure de percolation paire de paramètre p. Cette construction permet de faire le lien avec les contours du modèle d'Ising sur Z2, pour une certaine température dépendant de p. Nous nous intéressons ensuite à l'existence d'une composante connexe infinie. La difficulté principale découle du fait que le conditionnement crée des dépendances à longue portée, et qu'il n'y a plus de propriété de monotonie aussi simple que celle obtenue dans le modèle classique avec le couplage croissant. Il s'agit d'un travail commun avec Olivier Garet et Régine Marchand.

* 16H30 : Gouter de l'IECL

* 17H00 : Colloquium : Damien Gayet : Percolation des domaines nodaux aléatoires.

(travail en commun avec Vincent Beffara, hors journées GRAAL mais pas très éloigné de nos centres d'interêt)

* 18H00 : Fin de la première journée.

Mercredi 7 Décembre 2016 : 9H00-14H35

* 9H00 : Justin Salez : Temps de mélange et cutoff pour la marche aléatoire sur des grands graphes dirigés aléatoires.

Le cutoff est une transition de phase remarquable dans la convergence de certaines chaînes de Markov vers leur loi stationnaire : la distance à l’équilibre passe brutalement de 1 à 0 lorsque le nombre d’itérations approche une valeur critique appelée temps de mélange. Découvert dans le contexte du mélange de cartes (Aldous-Diaconis, 1986), ce phénomène est désormais rigoureusement établi pour de nombreuses chaînes réversibles. Dans cet exposé, nous considèrerons le cadre non-réversible des marches aléatoires sur des graphes dirigés, pour lesquelles la loi stationnaire elle-même est loin d’être comprise. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Charles Bordenave et Pietro Caputo.

* 9H50 : Pause café

* 10H20 : Erich Baur : Scaling limits of uniform quadrangulations with a boundary.

We discuss non-compact scaling limits of uniform random planar quadrangulations with a boundary when their size tends to infinity. Depending on the asymptotic behavior of the boundary size and of the scaling sequence, we observe different limiting metric spaces, among them the Brownian half-plane with skewness, the infinite-volume Brownian disk and the infinite continuum random tree. Based on joint work with Grégory Miermont and Gourab Ray.

* 11H10 : Pascal Maillard : Certains résultats récents sur le mouvement Brownien branchant avec absorption.

Je passerai en revue les résultats qui ont été obtenus pendant les dernières années sur le mouvement brownien branchant uni-dimensionnel avec drift et absorption à l'origine, en particulier les travaux de Berestycki, Berestycki et Schweinsberg qui establissent un lien avec le CSBP de Neveu et le coalescent de Bolthausen-Sznitman. Je présenterai également les résultats d'un travail en cours avec J. Berestycki et J. Schweinsberg sur le cas du drift critique : asymptotiques de la probabilité de survie jusqu'à un temps t (grand) et la configuration des particules conditionellement à cet événement.

* 12H00 : Collation en salle Wolfgang Doeblin

* 13H30 : Camille Pagnard : Limites locales d'arbres Markov-branchants et leur croissance volumique.

Dans cet exposé, on étudiera des suites d'arbres aléatoires qui satisfont une certaine propriété d'auto-similarité: la propriété de Markov-branchante. Heuristiquement, un arbre de taille n est construit de manière récursive en "partitionnant" aléatoirement n en p blocs de tailles respectives n_1,...,n_p puis en traitant chacun des blocs de la même manière, et ce, indépendamment les uns des autres. On s'intéressera tout d'abord aux limites locales de ces modèles puis au comportement asymptotique du "volume" de la boule de rayon R dans l'arbre limite quand R devient grand.