Lieu : Université Paris-Sud, Institut de Mathématique, bâtiment 307.

Orateurs : Jean-François Le Gall, Séverin Charbonnier, Éric Fusy, Guillaume Rémy, Grégory Miermont.

Organisateur : Cyril Marzouk.

Soutien : ERC Advanced Grant GeoBrown de Jean-François Le Gall et Nicolas Curien.

Programme

• 09h30-10h00 : café d'accueil
• 10h-10h45 : Jean-François Le Gall - Cycles séparants et inégalités isopérimétriques en géométrie aléatoire.
• 10h45-11h30 : Séverin Charbonnier - Large Strebel graphs and (3,2) Liouville CFT.
• 11h30-11h45 : pause
• 11h40-12h30 : Éric Fusy - Diagrammes de Voronoi dans les arbres et cartes aléatoires d'excès fini.
• 12h30-14h00 : repas
• 14h00-14h45 : Guillaume Rémy - La formule de Fyodorov-Bouchaud et la théorie conforme des champs de Liouville.
• 14h45-15h15 : pause
• 15h15-16h : Grégory Miermont - Percolation sur les triangulations : approche par les cartes de Boltzmann.

Résumés

• Jean-François Le Gall (Université Paris-Sud), Cycles séparants et inégalités isopérimétriques en géométrie aléatoire.
  Nous présentons un travail récent en collaboration avec Thomas Lehéricy, concernant la longueur minimale d'un cycle séparant une grande boule de l'infini dans la quadrangulation infinie uniforme du plan (UIPQ). En application, nous discutons des inégalités isopérimétriques montrant que la longueur de la frontière d'un sous-ensemble connexe formé de faces de l'UIPQ et contenant le sommet racine est minorée par son volume à la puissance 1/4, à une correction logarithmique près. Si le temps le permet, nous présenterons des résultats analogues pour le plan brownien obtenus par Armand Riera.
• Séverin Charbonnier (CEA Saclay), Large Strebel graphs and (3,2) Liouville CFT.
  Planar Strebel graphs are linked to the Strebel foliation of the moduli space of genus 0 Riemann surfaces with n punctures. Restricting this set to graphs which have the same perimeter on every face, makes all computations explicit afterward. We also define the observables to be computed, and their encoding in generating functions.
  I will then define the spectral curve of this model, which --by the means of Topological Recursion-- allows to compute all the observables. It is computable explicitly thanks to the knowledge of intersection numbers of genus 0.
  In the end, by tuning the parameters of the model, we show how to reach a critical point. At this point, the behaviour of observables of large graphs is accessible. We show that at the critical point, the spectral curve is equivalent to the one of the (3,2) minimal model in CFT. This new result is a strong hint that large Strebel graphs shall be equivalent to the the gravity dressed (3,2) minimal model.
• Éric Fusy (École Polytechnique), Diagrammes de Voronoi dans les arbres et cartes aléatoires d'excès fini.
  Cet exposé sera dans la continuité de celui de Guillaume Chapuy aux dernières journées cartes. Plusieurs modèles de graphes aléatoires (notamment les cartes de genre g) possèdent ou semblent posséder la propriété d'être asymptotiquement uniformes pour la distribution de masse des cellules de Voronoi (pour chaque k>=2 fixé, on considère la partition en cellules, pour k sommets choisis aléatoirement). Nous montrerons que c'est le cas pour les arbres aléatoires et plus généralement pour les cartes unicellulaires de genre g. La preuve repose sur une bijection qui envoie (pour les arbres plans avec k coins marqués, et modulo des termes d'erreur o(1)) le vecteur de masses des cellules de Voronoi vers le vecteur donnant les longueurs d'intervalles pour la partition du contour selon les coins marqués. Cette bijection admet une extension naturelle aux cartes de genre et excès fixés, qui permet d'obtenir la propriété d'uniformité pour les cartes unicellulaires de genre g.
  Travaux en commun avec Louigi Addario-Berry, Omer Angel, Guillaume Chapuy et Christina Goldschmidt.
• Guillaume Rémy (ENS Paris), La formule de Fyodorov-Bouchaud et la théorie conforme des champs de Liouville.
  À partir de la restriction d’un champ libre gaussien (GFF) au cercle-unité on peut définir la mesure de chaos multiplicatif gaussien (GMC) dont la densité est donnée formellement par l’exponentielle du GFF. En 2008 Fyodorov et Bouchaud ont conjecturé la valeur des moments de la masse totale du GMC intégré sur le cercle unité. Dans cet exposé on donnera une preuve de ce résultat. La méthode s’inspire de la démonstration par Kupiainen, Rhodes et Vargas de la formule DOZZ pour la théorie de Liouville sur la sphère. Dans notre cas il faudra cependant travailler sur un domaine avec bord: le disque-unité. Enfin on présentera des applications aux matrices aléatoires, au maximum du GFF et aux estimées de queue pour le GMC.
• Grégory Miermont (ENS Lyon), Percolation sur les triangulations : approche par les cartes de Boltzmann.
  L'étude de la percolation sur les cartes aléatoires remonte aux premiers travaux d'Angel, qui avait montré comment l'utilisation du processus d'épluchage permettait de calculer le seuil de percolation critique pour l'UIPT. Ces travaux ont été par la suite généralisés à d'autres modèles de percolation par Angel-Curien et Richier. En parallèle, dans le cas de la percolation par sites sur les triangulations, Curien-Kortchemski ont donné une autre manifestation de la transition de phase en considérant la percolation sur les triangulations (finies) de Boltzmann, en montrant que les statistiques de l'amas de l'origine changent en fonction du paramètre de percolation. Dans ce travail avec Olivier Bernardi et Nicolas Curien, nous approchons ce problème par des méthodes combinatoires à la Tutte, qui s'appliquent également à la percolation par arêtes sur les triangulations. Nous montrons également comment ces résultats impliquent la transition de phase dans les cartes infinies.