Journée Cartes du vendredi 6 octobre 2017

Lieu : École normale supérieure de Lyon, site Monod, 46 allée d'Italie, Lyon 7ème. Les exposés auront lieu en salle 435 (4ème étage). Indications pour venir.

Oratrice, orateurs : Valentin Bonzom, Ariane Carrance, Adrien Kassel, Cyril Marzouk.

Organisateur : Sanjay Ramassamy.

Soutien : ANR GRAAL.

Programme

Résumés

À l'instar des modèles de matrices pour la dimension 2, les modèles de tenseurs colorés sont une approche à la gravité quantique en dimension supérieure : l'espace-temps y est décrit comme une distribution de probabilité sur des espaces topologiques discrétisés, qu'on appelle trisps colorés. Pour obtenir un espace-temps continu, la question est alors de trouver une limite d'échelle à ces distributions. Je présenterai rapidement le formalisme utilisé dans la construction des trisps ainsi que dans les modèles de tenseurs colorés, et j'énoncerai les principaux résultats du domaine. Je parlerai ensuite de modèles de trisps colorés aléatoires que j'ai récemment étudiés, à la recherche d'une limite d'échelle.

  • Adrien Kassel (UMPA, ENS Lyon), Limite d'échelle de cartes boisées aléatoires

Sheffield a énoncé une méthode pour échantillonner une carte planaire (infinie) décorée par un modèle de Fortuin--Kasteleyn (FK) à l'aide d'une suite de v.a. i.i.d. à valeurs dans un alphabet à 5 lettres. La méthode repose sur une correspondance (due à Bernardi dans la forme utilisée) entre cartes décorées par un sous-graphe et cartes décorées par un arbre couvrant, dites cartes boisées, ainsi que sur la bijection de Mullin entre cartes boisées et mélanges de 2 parenthésages bien emboîtés (qui se lisent comme un mot à 4 lettres). Cette même méthode peut être utilisée pour échantillonner une famille plus large de cartes aléatoires décorées à partir d'une suite de v.a. i.i.d. à valeurs dans un alphabet à 8 lettres. L'espace des mesures de probabilités que nous considérons sur cet alphabet couvre le cas traité par Sheffield ainsi que celui des cartes décorées par un "arbre couvrant actif" et plus généralement encode un modèle de carte boisée aléatoire. Pour un certain sous-ensemble de ces mesures, la carte boisée aléatoire converge dans la limite d'échelle, au sens de la "peanosphère" de Duplantier--Miller--Sheffield, vers un cône aléatoire décoré par une évolution de Schramm--Loewner qui remplit ce cône. Ce résultat de convergence étend celui de Sheffield sur les cartes décorées par un modèle FK et étend les valeurs du paramètre "quantique" gamma décrivant le cône aléatoire ainsi obtenu à tout l'intervalle admissible (0,2). Ce travail a été réalisé avec Ewain Gwynne (MIT), Jason Miller (Cambridge U.), et David Wilson (U. of Washington).

  • Valentin Bonzom (LIPN, Paris 13), Les triangulations colorées comme généralisation des cartes en dimensions supérieures (PDF)

Les cartes combinatoires sont des surfaces discrètes dont la théorie est bien développée en combinatoire et probabilité, donnant lieu à de multiples applications en physique et mathématiques. Les triangulations dites colorées visent à combler notre manque d'une théorie combinatoire d'espaces discrets en dimension supérieure à 2, permettant l'énumération et l'étude des classes d'universalité. Elles généralisent les p-angulations, en considérant des collages de briques élémentaires elles-mêmes formées de simplexes. Les triangulations colorées ont des propriétés qui les rendent très attirantes pour la combinatoire : elles admettent une généralisation combinatoire du genre des surfaces, un système d'équations de Schwinger-Dyson, à la Tutte, sur les fonctions génératrices, et permettent de faire de l'énumeration en dimension 3 et plus. En particulier, la classe d'universalité de l'équivalent des cartes planaires en dimension 3 est celle des arbres pour toutes les briques élémentaires testées, mais en dimension 4, en fonction des briques élémentaires choisies on peut retrouver des cartes planaires et former des arbres de cartes planaires.

  • Cyril Marzouk (Université Paris-Sud), Universalité de la carte brownienne : limite de cartes à degrés prescrits (PDF)

On considère des cartes planaires aléatoires générées de la manière suivante : étant donné n nombres entiers, on choisit une carte uniformément au hasard parmi toutes celles possédant n faces, de degrés donnés par ces nombres. Par exemple, une quadrangulation uniforme de taille n correspond au cas où les n nombres sont tous égaux à 4. Je donnerai une condition suffisante sur une suite de telles listes d’entiers pour que la carte aléatoire associée converge en loi après mise à l’échelle vers la carte brownienne. Ce cadre permet par la suite de traiter le modèle des cartes de Boltzmann conditionnées par la taille (au sens du nombre de sommets, d’arêtes ou de faces), sous une hypothèse de moment d’ordre deux sur le degré d’une face typique. Article disponible sur https://arxiv.org/abs/1612.08618.