Lieu : École polytechnique, bâtiment Turing, amphithéâtre Sophie Germain.

Oratrice, orateurs : Guillaume Chapuy, Lucas Gerin, Christina Goldschmidt, Sanjay Ramassamy, Delphin Sénizergues.

Organisateurs : Igor Kortchemski et Loïc Richier.

Soutien : ANR GRAAL.

Programme

• 09h00-09h30 : café d'accueil
• 09h30-10h15 : Sanjay Ramassamy - La dynamique de Miquel sur les agencements de cercles (PDF)
• 10h15-10h30 : pause
• 10h30-11h15 : Lucas Gerin - Lignes d'Hammersley et Arbres d'Hammersley
• 11h15-11h30 : pause
• 11h30-12h15 : Christina Goldschmidt - Critical random graphs with i.i.d. random degrees having power-law tails

• 12h15-14h30 : déjeuner

• 14h30-15h15 : Delphin Sénizergues - Recollement aléatoire d'espaces métriques
• 15h15-45 : pause
• 15h45-16h30 : Guillaume Chapuy - Diagrammes de Voronoï dans les cartes et arbres aléatoires: une conjecture et quelques résultats

Résumés

• Sanjay Ramassamy (ENS Lyon), La dynamique de Miquel sur les agencements de cercles (PDF)
  

Les agencements de cercles sont une des façons d'uniformiser des graphes sur des surfaces, en les plongeant de telle sorte que chaque face admette un cercle circonscrit. Dans cet exposé, nous décrirons un système dynamique sur les agencements de cercles avec la combinatoire du réseau carré, la dynamique de Miquel. Nous présenterons certaines propriétés de cette dynamique, suggérant son caractère intégrable.

Travaux en partie en collaboration avec Alexey Glutsyuk (ENS de Lyon).

• Lucas Gerin (Ecole polytechnique), Lignes d'Hammersley et Arbres d'Hammersley
  

À la fin des années 60, Hammersley a introduit un processus à temps et espace continus de lignes aléatoires. Ce processus s'interprète en terme d'algorithme de tri de variables iid uniformes dans des piles. Lorsque l'on analyse ce problème de tri dans des arbres et non plus dans des piles, le processus d'Hammersley devient un processus de lignes indexées par des arbres. Je vais expliquer pourquoi ce problème admet une solution élégante lorsque les arbres sont des arbres de Galton-Watson, ceci permet de vérifier des prédictions issues de la littérature informatique.

Travail en commun avec A.-L.Basdevant, J.-B. Gouéré, A.Singh.

• Christina Goldschmidt (Oxford), Critical random graphs with i.i.d. random degrees having power-law tails
  

Consider a graph with label set 1,2,...,n chosen uniformly at random from those such that vertex i has degree D_i, where D_1, D_2, ..., D_n are i.i.d. strictly positive random variables. The condition for criticality (i.e. the threshold for the emergence of a giant component) in this setting is E[D^2] = 2 E[D], and we assume additionally that $P(D = k) \sim c k^{-α + 2}$ as k tends to infinity, for some 1<α<2. In this situation, it turns out that the largest components have sizes on the order of n^{α/(α+1)}. Building on earlier work of Adrien Joseph, we show that the components have scaling limits which can be related to a forest of stable trees (à la Duquesne-Le Gall-Le Jan) via an absolute continuity relation. This gives a natural generalisation of the scaling limit for the Erdős–Rényi random graph which I obtained in collaboration with Louigi Addario-Berry and Nicolas Broutin a few years ago (extending results of Aldous), and complements recent work on random graph scaling limits of various authors including Bhamidi, Broutin, Duquesne, van der Hofstad, van Leeuwaarden, Riordan, Sen, M. Wang and X. Wang.

This is joint work in progress with Guillaume Conchon-Kerjan (Paris 7).

• Delphin Sénizergues (Paris 13), Recollement aléatoire d'espaces métriques
  

Je présenterai un modèle de recollement aléatoire d'espaces métriques qui généralise la célèbre construction "line-breaking" de l'arbre brownien d'aldous. Sous certaines hypothèses, on peut calculer la dimension de Hausdorff de la structure obtenue et celle-ci a une dépendance étonnante en les paramètres du modèle. Dans un second temps, on étudiera un modèle discret dont la limite d'échelle peut être décrite par ce type de construction.

• Guillaume Chapuy (Paris 7), Diagrammes de Voronoï dans les cartes et arbres aléatoires: une conjecture et quelques résultats
  

Dans la carte Brownienne, on tire deux points uniformes et on partitionne la carte en deux "cellules de Voronoï" centrées en ces points, pour la métrique sous-jacente. Alors la fraction de la masse totale qui tombe dans la première cellule est une variable uniforme sur [0,1]. Cet énoncé est le seul cas particulier démontré à ce jour (par Emmanuel Guitter) d'une conjecture plus générale que je présenterai, et qui concerne le cas de k>=2 points dans une carte Brownienne de genre g>=0. Sa résolution en tout genre conduirait à une preuve probabiliste nouvelle de la "récurrence des t_g" ou double limite d'échelle du modèle à une matrice, grâce à une connexion (bijective) qui est le point de départ de ce travail. Néanmoins, elle reste ouverte même en genre 0. Je mentionnerai aussi des travaux récents avec Addario-Berry, Angel, Fusy, et Goldschmidt ou l'on traite le cas de cartes d'excès fini (comme les arbres), beaucoup plus simples mais qui étonnamment semblent se comporter comme les cartes Browniennes pour ce problème.