Lieu : École normale supérieure, 45 rue d'Ulm, 75005 Paris. Les exposés ont eu lieu en salle U/V, au deuxième sous-sol de l'aile Rataud. Voir plan d'accès.

Oratrices, orateurs : Céline Abraham, Alessandra Caraceni, Philippe Di Francesco, Bertrand Eynard, Bénédicte Haas.

Organisateurs : Jérémie Bouttier, Igor Kortchemski.

Soutien : ANR IComb.

Programme

• 10h00-10h30: café d'accueil (espace Cartan, rez-de-chaussée de l'aile Rataud)
• 10h30-11h00: Céline Abraham, Un résultat de convergence vers la carte brownienne pour des cartes biparties (PDF)
• 11h00-11h30: Alessandra Caraceni, The scaling limit of random outerplanar maps (Keynote, PDF)
• 11h30-11h45: pause
• 11h45-12h45: Bertrand Eynard, Distances sur les mobiles, et systèmes intégrables
• 12h45-14h30: déjeuner
• 14h30-15h30: Bénédicte Haas, Limites d'échelle de suites croissantes d'arbres k-aires
• 15h30-15h45: pause
• 15h45-16h45: Philippe Di Francesco, Combinatoire des systèmes intégrables discrets non-commutatifs (PDF)

Résumés

• Céline Abraham, Un résultat de convergence vers la carte brownienne pour des cartes biparties (PDF)
  Ce travail s'inscrit dans une série de résultats de convergence de différents modèles de cartes aléatoires vers la carte brownienne. Pour un entier n strictement positif, on considère une carte planaire aléatoire M_n de loi uniforme sur l'ensemble des cartes biparties enracinées et pointées à n arêtes. On montre que l'ensemble des sommets de M_n muni de la distance de graphe renormalisée par (2n)^{1/4} converge en loi au sens de Gromov-Hausdorff vers la carte brownienne.
  On présentera les deux outils principaux pour la preuve de ce résultat: d'une part, la bijection BDG qui donne une correspondance avec des arbres à deux types, et d'autre part des théorèmes limites sur les fonctions de contour et d'étiquettes d'arbres de Galton-Watson à deux types en définissant un chemin de Lukasiewicz "modifié" pour un arbre à deux types.
• Alessandra Caraceni, The scaling limit of random outerplanar maps (Keynote, PDF)
  A planar map is outerplanar if all of its vertices belong to a single (outer)face. The scaling limit for various classes of large planar maps has been shown to be the so-called “Brownian Map”; under certain conditions, however, different asymptotic behaviours may emerge, and some classes of planar maps with a macroscopic face admit Aldous’ CRT, or a scalar multiple thereof, as the scaling limit. We shall see that this is the case for outerplanar maps as well: using a bijection by Bonichon, Gavoille and Hanusse one can show that uniform outerplanar maps with n vertices, suitably rescaled by a factor 1/\sqrt{n}, converge to 7\sqrt{2}/9 times the CRT.
• Philippe Di Francesco, Combinatoire des systèmes intégrables discrets non-commutatifs (PDF)
  L'exposé portera sur des équations intégrables discrètes, ressemblant à celles satisfaites par les séries génératrices de cartes ayant deux points marqués à distance prescrite, mais faisant intervenir des variables non-commutatives. Ces équations se résolvent à l'aide de connexions plates et de modèles de dimères non-commutatifs, et sont liées aux algèbres amassées et aux frises de Coxeter-Conway.
• Bertrand Eynard, Distances sur les mobiles, et systèmes intégrables
  La bijection de Bouttier-Di Francesco-Guitter permet de compter les mobiles étiquetés avec des distances géodésiques données à la racine. Ceci contient comme cas particulier les cartes et les constellations.
  Les auteurs avaient obtenu des équations de récurrence, et avaient conjecturé des solutions.
  Ces équations de récurrence sont en fait un cas particulier de système intégrable isospectral, dont la solution est connue depuis les années 70, avec le formalisme des paires de Lax et des équations de Plücker ou Hirota.
  Nous appliquons donc le formalisme des systèmes intégrables à la combinatoire des mobiles, ce qui permet de démontrer les formules conjecturées, et fait apparaître des objets et des relations qui ne demandent qu'à être interprétées de façon combinatoire.
• Bénédicte Haas, Limites d'échelle de suites croissantes d'arbres k-aires
  Pour chaque entier $k \geq 2$, on considère une suite d'arbres aléatoires construite récursivement : on part de l'arbre à une arête et deux noeuds (la racine et une feuille), puis on choisit à chaque étape une arête uniformément au hasard dans l'arbre préexistant et on plante au milieu de l'arête sélectionnée $k-1$ nouvelles arêtes. Lorsque $k=2$, il s'agit de l'algorithme de Rémy, qui génère ainsi une suite d'arbres binaires, dont le $n$-ième terme est uniformément distribué dans l'ensemble des arbres binaires enracinés à $n$ feuilles numérotées. Il est bien connu que les arbres de Rémy, munis de la distance de graphe, convergent à la vitesse $\sqrt n$ vers l'arbre brownien, et ce dans un sens presque sûr. L'objectif de cet exposé est d'étudier plus généralement la limite d'échelle de la suite d'arbres $k$-aires, pour tout $k \geq 2$. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Robin Stephenson.